SUITES ALIQUOTES AVEC TERMES DE TAILLE RECORD (plus de 10^7 chiffres)

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CROISSANCE NATURELLE D'UNE SUITE ALIQUOTE DEMARRANT AVEC UN MULTIPLE DE NOMBRE PARFAIT OU K-PARFAIT

ALIQUOT SEQUENCES WITH RECORD SIZE TERMS (more than 10^7 digits)

&

NATURAL GROWTH OF AN ALIQUOT SEQUENCE DRIVEN BY A PERFECT OR K-PERFECT NUMBER

Il est assez facile de calculer plusieurs centaines de termes d'une suite aliquote strictement croissante dont chacun de ses termes a plus de 10^7 chiffres.
Dans une première partie, nous expliquerons le principe qui permet d'arriver à faire cela.
Dans une deuxième partie, nous donnerons des exemples de telles suites aliquotes.
Dans une troisième partie, nous expliquerons comment trouver plusieurs suites aliquotes de ce genre en n'en calculant qu'une seule.
Dans une quatrième partie, nous montrerons que l'on peut trouver une infinté de telles suites en un temps très raisonnable.
Dans une cinquième partie, nous examinerons sous le même angle la croissance naturelle d'une suite aliquote démarrant avec un multiple d'un hypothétique nombre parfait impair.
Enfin, nous ferons mention de travaux généralisant ces notions avec une nouvelle tentative de construire un nombre de départ de suite aliquote ayant des termes croissant indéfiniment.

Calculer très facilement une suite aliquote strictement croissante avec des termes de plus de 10^7 chiffres

Soit p un nombre premier tel que M=2^p-1 soit aussi un nombre premier : M est alors appelé un nombre premier de Mersenne.
Alors, N=2^(p-1)*M est un nombre parfait et σ(N)=2N et donc σ'(N)=σ(N)-N=N.

Soit j₀=N*z₀ le premier terme d'une suite aliquote, avec PGCD(N,z₀)=1 (cela implique que σ(N*z₀)=σ(N)*σ(z₀)).
Le terme suivant j₁ de la suite aliquote se calcule de la façon suivante :

j₁ = σ(j₀) - j₀ = σ(N * z₀) - N * z₀ = σ(N) * σ(z₀) - N * z₀ = 2 * N * σ(z₀) - N * z₀ = N (2 σ(z₀) - z₀) = N * z₁.

Nous noterons que z₁ = 2 σ(z₀) - z₀ et que de manière plus générale, nous aurons z_i+1 = 2 σ(z_i) - z_i.
Nous noterons que z₀ étant impair, la relation de récurrence implique que z_i est impair quel que soit i inférieur à une certaine limite, voir plus bas.
Nous noterons que z_i+1 > z_i quel que soit i inférieur à une certaine limite, voir plus bas.
ATTENTION : nous noterons que les trois propriétés de la suite (z) données ci-dessus ne restent vraies de manière certaine que tant que z_i < M, car :
tant que z_i restera inférieur à M, du fait de sa parité, z_i restera toujours premier avec N et l'on pourra continuer à itérer de la sorte sans risque de changement du processus d'itération.Dès que z_i sera plus grand que M, nous ne pourrons plus être certains que dans la décomposition en facteurs premiers de z_i, n'apparaîtra pas le nombre premier M, ce qui pourra casser la "stabilité" de la suite aliquote, même si cela est extrêment improbable pour les M dépassant les 100 chiffres !

Nous comprenons à présent qu'il nous suffit de calculer les z_i+1 = 2 σ(z_i) - z_i pour obtenir les suites aliquotes recherchées.
En prenant N avec plusieurs millions de chiffres, nous aurons alors une suite aliquote avec des termes sucessifs extrêmement stables qui seront :

j₀ = N * z₀
j₁ = N * z₁
j₂ = N * z₂
j₃ = N * z₃
...
j_i = N * z_i
...

Et ainsi de suite avec certitude tant que z_i < M.
C'est aussi à cause de cette stabilité que les nombres parfaits sont appelés des "drivers" de suite aliquote.

Exemples de suites aliquotes avec des termes de taille gigantesque

Il n'est bien entendu pas raisonnable, voire pas possible de donner les termes des suites aliquotes qui suivent sous forme de nombres écrits en base 10. Ainsi, nous écrirons par exemple 2^520 * (2^521-1) pour exprimer le 13^ème nombre parfait et non pas ce nombre à l'aide des 314 chiffres qui le représentent en base 10.

Voici plus de 800 itérations d'une suite aliquote dont chaque terme a plus de 314 chiffres ; 2^520 * (2^521-1) est le 13^ème nombre parfait et il a 314 chiffres :
Suite commençant sur l'entier z₀ = 2^520 * (2^521-1) * 3

Voici plus de 800 itérations d'une suite aliquote dont chaque terme a plus de 44677235 chiffres (!!!) ; 2^74207280 * (2^74207281-1) est le 49^ème nombre parfait découvert et il a 44677235 chiffres :
Suite commençant sur l'entier z₀ = 2^74207280 * (2^74207281-1) * 3

Nous noterons qu'il est possible de renseigner la base de données "factordb" avec la première suite aliquote, mais pas avec la deuxième : les nombres doivent être trop grands !
Nous noterons que les termes de ces deux suites aliquotes ont exactement les mêmes z_i comme cofacteurs.

Voici trois suites aliquotes défférentes avec des termes avec 314 chiffres ou plus, mais avec des suites différentes de cofacteurs z_i pour les trois suites aliquotes.
Ces trois suites ont été rentrées dans la base de données factordb :

Suite commençant par : 2^520 * (2^521-1) * 3

Suite commençant par : 2^520 * (2^521-1) * 11

Suite commençant par : 2^520 * (2^521-1) * 23

Question sur le fonctionnement de la base de données factordb :

J'arrive à comprendre que l'on puisse entrer des suites aliquotes avec des termes à 314 chiffres dans cette base de données.
J'ai réussi à y entrer une suite aliquote avec des termes à plus de 12000 chiffres : suite commençant par : 2^19936 * (2^19937-1) * 3
J'ai même réussi à y entrer une suite aliquote avec des termes à plus de 130100 chiffres : suite commençant par : 2^216090 * (2^216091-1) * 3
J'arrive toujours à comprendre que l'on ne puisse pas entrer des suites aliquotes avec des termes à 1791864 chiffres pour le nombre parfait 2^2976220 * (2^2976221-1) ou plus...

Par contre, j'ai du mal à comprendre que si la base de données à accepté plus de 800 termes de la suite aliquote qui démarre sur l'entier 2^520 * (2^521-1) * 3, il faille à nouveau rentrer les termes sucessifs de la suite aliquote qui commence par exemple avec l'entier 2^607 * (2^607-1) * 3. En effet, les cofacteurs z_i sont exactement les mêmes pour ces deux suites aliquotes et la base de données devrait connaître ces cofacteurs une fois qu'on les a entrés pour un nombre parfait donné !

Trouver plusieurs suites aliquotes à taille record de termes en n'en calculant qu'une seule

En fait, il n'est nullement besoin de calculer rigoureusement une suite aliquote.
Il "suffit" de prendre un nombre impair quelconque z₀ et d'itérer de la sorte : z_i+1 = 2 σ(z_i) - z_i.
Ainsi, on a toute la famille de cofacteurs qui sera la même pour toutes les suites aliquotes qui qui démarrent sur un entier j₀ = N * z₀, N étant un nombre parfait.
La seule précaution à prendre est de veiller à ce que les termes z_i ne deviennent pas plus grands que M=2^p-1 si N=2^(p-1)*M, comme expliqué plus haut (on rappelle que la suite (z) est strictement croissante).

Voici ci-dessous trois familles de cofacteurs z_i :

Famille de cofacteur commençant par z₀ = 3. Cette suite est répertoriée dans l'OEIS, c'est la suite A146556.

Famille de cofacteur commençant par z₀ = 11. Cette suite est répertoriée dans l'OEIS, c'est la suite A215778.

Famille de cofacteur commençant par z₀ = 23. Cette suite n'est pas répértoriée dans l'OEIS.

Trouver une infinité de suites aliquotes à taille record de termes en un temps très raisonnable

Pour z₀ = 3, si l'on itère comme dit plus haut, la famille de cofacteurs commence ainsi : 3, 5, 7, 9, 17, 19, 21, 43, 45, 111, ...
Pour z₀ = 11, si l'on itère comme dit plus haut, la famille de cofacteurs commence ainsi : 11, 13, 15, 33, 63, 145, ...
Pour z₀ = 23, si l'on itère comme dit plus haut, la famille de cofacteurs commence ainsi : 23, 25, 37, 39, 73, 75, 173, ...

Ainsi, on comprend que si l'on prenait z₀ = 5, ce serait totalement absurde de refaire tous les calculs, puisque l'on trouve la même suite que pour z₀ = 3. Il en irait de même pour z₀ = 7 ou 9. Par contre, pour z₀ = 11, on trouve une toute nouvelle famille de nombres z.
Il est presque impossible de savoir si beaucoup plus loin, la famille qui commence à 11 rejoindra la famille qui commence à 3.
J'ai écrit un programme qui remplit un crible. On commence par poser la taille du crible : par exemple 1000000 pour faire le travail pour les nombres impairs jusqu'à 1999999 et on affecte 0 à chaque valeur de ce tableau. On pose z₀ = 3 et on commence à calculer tous les termes de la suite (z) inférieurs à 2000000. On trouve ainsi 3, 5, 7, 9, 17, 19, 21, 43, 45, 111, ... A tous les emplacements de ces nombres impairs dans le tableau, on écrit "3" pour savoir ensuite qu'ils appartiennent à la famille z₀ = 3. On reprend alors le tableau au début et on regarde la premier emplacement qui n'a pas été criblé par la famille z₀ = 3, c'est à dire le premier emplacement où on aura un 0 : ce sera l'emplacement du nombre impair "11". On recommence alors de même avec z₀ = 11. On met la valeur 11 aux emplacements des nombres impairs 11, 13, 15, 33, 63, 145, ... Mais attention, si l'on devait mettre un 11 à un emplacement où il y a dèjà un 3, cela signifierait que la famille z₀ = 11 rencontre la famille z₀ = 3 au bout d'un certain rang. Lorsqu'on a terminé avec le 11, on remarque que l'emplacement du nombre impair suivant pas encore criblé est celui du 23.

Si l'on fait tout ce travail sur un crible de taille 1000000, donc pour tous les nombres impairs de 3 à 1999999 , on a 507313 nombres pas criblés, dont 252921 qui en rencontrent d'autres et 254392 qui n'en rencontrent aucune autre et qui semblent donc être des suites (z) indépendantes. Mais attention, si l'on allait jusqu'à 10000000 (impairs jusqu'à 19999999), certaines de ces familles "indépendantes" ne le seraient certainement plus.
Par exemple, la première rencontre de deux familles sera pour z₀ = 29, qui au bout de 2 itérations tombe sur z₂ = 33 qui est lui-même la 3^ème itération de la famille z₀ = 11.
Autre exemple : la famille 137 rencontre la famille 51 à partir de l'itération 6.
Encore autre exemple : 17217 rencontre la famille 6905 à partir de l'itération 21.

Exemple autres que 3, 11 et 23 de z₀ semblant engendrer des suites (z) indépendantes

Les premiers z₀ qui sont des départs de familles (ou suites (z)) indépendantes si l'on crible jusqu'à 1000000 sont :

3, 11, 23, 27, 47, 51, 67, 79, 119, 135, 147, 155, 177, 189, 205, ...

Et pour un nombre parfait impair ?

Tout ce qui a été dit ci-dessus reste valable si le nombre parfait de départ est un nombre parfait impair.
Mais attention, comme précisé, il faut que les z_i sucessifs restent premiers avec le nombre parfait impair.
Cela autorise donc à prendre des multiples du nombre parfait de départ, pairs. Dans le cas d'un nombre parfait impair, on peut prendre z₀ = 2.
Pour z₀ = 2, si l'on itère comme dit plus haut, la famille de cofacteurs commence ainsi : 2, 4, 10, 26, 58, 122, 250, 686 ...
On peut voir en détail ici les 348 premiers termes de cette famille de cofacteur commençant par z₀ = 2.
Cette suite n'est pas répértoriée dans l'OEIS.
Il est amusant de constater que le nombre premier 3 ne semble pas apparaître dans la décomposition en facteurs premiers de ces z_i successifs, du moins jusqu'à l'itération 348 !

Nous n'avons pas refait pour les nombres parfaits impairs tous les travaux exposés ci-dessus avec les nombres parfaits pairs.
Par ailleurs, au moment où a été ajoutée à cette page ce petit paragraphe sur les nombres parfaits impairs (mai 2018), beaucoup de mathématiciens pensent qu'il est probable que les nombres parfaits impairs n'existent pas ! Mais cela reste à démontrer !

Et pour les nombres k-parfaits ? Recherche d'une suite aliquote croissant indéfiniment ?

Tout ce qui a été dit ci-dessus peut être adapté si le nombre parfait de départ est remplacé par un nombre k-parfait.
Mais attention, comme précisé, il faut que les z_i sucessifs restent premiers avec le nombre k-parfait.
Rappel : un nombre k-parfait est un nombre N tel que σ(N)=kN et donc σ'(N)=σ(N)-N=(k-1)N.

Refaisons le même raisonnement que plus haut, mais cette fois-ci avec un nombre k-parfait N.

Soit j₀=N*z₀ le premier terme d'une suite aliquote, avec PGCD(N,z₀)=1 (cela implique que σ(N*z₀)=σ(N)*σ(z₀)).
Le terme suivant j₁ de la suite aliquote se calcule de la façon suivante :

j₁ = σ(j₀) - j₀ = σ(N * z₀) - N * z₀ = σ(N) * σ(z₀) - N * z₀ = k * N * σ(z₀) - N * z₀ = N (k * σ(z₀) - z₀) = N * z₁.

Nous noterons que cette fois-ci, z₁ = k * σ(z₀) - z₀ et que de manière plus générale, nous aurons z_i+1 = k * σ(z_i) - z_i.
Nous noterons que si k >1, on a z_i+1 > z_i quel que soit i tant que PGCD(N,z_i)=1. Si PGCD(N,z_i)>1, cela "casse" la croissance des termes de la suite aliquote qui croissaient jusqu'ici d'un facteur au moins égal à (k-1) à chaque itération.

Nous sommes en train de faire de gros calculs pour tenter déséspérément de construire un nombre de départ qui serait le commencement d'une suite aliquote croissant indéfiniment.
L'idée de base est la suivante.
Pour des k donnés, nous prenons tous les z₀ de 1 à 10^5 ou 10^6, voir un peu plus loin quels calculs ont été faits. Nous évitons le 1 pour k=2 pour des raisons évidentes : si k=2 et z₀=1, nous itérons sur des nombres parfaits et il n'y a donc pas de croissance. Ensuite, nous calculons pour chacun de ces z₀, 50 itérations, jusqu'à z₅₀. Pendant que nous calculons ces 50 itérations, nous stockons dans un tableau tous les nouveaux nombres premiers rencontrés dans la décomposition en facteurs premiers des z_i successifs. Enfin, nous regardons au bout des 50 itérations combien de nombres premiers différents sont stockés. Nous espérons trouver une suite aliquote où ce nombre serait très bas : moins de 5 nombres premiers serait fabuleux.
MAIS, nous soupçonnons qu'une hypothétique suite aliquote croissant indéfiniment ne peut pas avoir ses termes composés d'un nombre fini de nombres premiers différents, leurs puissances pouvant toutefois être queconques, d'où la question posée dans le paragraphe suivant, ci-dessous.
Et nous espérons que seuls ces nombres premiers composeront les termes de la suite des z_i si on prolonge au-delà de 50. Bien entendu, il restera encore ensuite à vérifier qu'il existe un nombre k-parfait dont la décomposition en nombres premiers ne comportera pas ces rares nombres premiers rencontrés dans les décompositions des z_i successifs. Nous n'avons aucune idée du temps que dureront ces calculs, car les temps s'allongent au fur et à mesure que k croit. Après plusieurs semaines de travail, nous avons effectué les calculs suivants. Pour k de 2 à 3, nous avons testé les z₀ de 1 (sauf pour k=2 où l'on démarre donc avec z₀=2) à 10^6. De k=4 à k=11, nous avons testé les z₀ de 1 à 10^5. Pour k=12, nous avons testé jusqu'à 30000. De toute façon, personne aujourd'hui ne connait de nombre 12-parfait et certainement pendant encore longtemps ! De plus, au fur et à mesure que k grandit, le nombre minimal de nombres premiers différents rencontrés au cours des 50 itérations semble grandir...
Nous ne manquerons pas de le signaler ici si une découverte devait être faite !

Précisons juste pour terminer que le raisonnement pour les nombre k-parfaits reste valable si k prend des valeurs demi entières (cas des nombre hémiparfaits). Mais rien n'a été trouvé laissant penser qu'une suite aliquote commençant par un multiple d'un nombre hémiparfait pourrait croître indéfiniment. Les calculs ont été beaucoup plus rapides car nous avons pris tous les nombres hémiparfaits connus avec les valeurs de k allant de k=5/2 à k=17/2 et nous avons stoppé le calcul dès qu'un z_i n'était plus premier avec le nombre k-parfait considéré.

Existence d'une suite aliquote croissant indéfiniment dont les termes seraient tous composés d'un nombre fini de nombres premiers, pouvant toutefois avoir des puissances quelconques ?

Ce qui précède nous a amenés tout naturellement à nous poser la question suivante, car ces travaux sont basés sur la possible existence de ces suites aliquotes :

Peut-il exister une suite aliquote croissant indéfiniment dont tous les termes seraient composés d'un nombre fini de nombres premiers, pouvant toutefois avoir des puissances quelconques ?

Voir la page qui explicite cette question de l'existence d'une telle suite aliquote.

Si l'on prouve la possibilité de l'existence d'une telle suite aliquote, une deuxième question vient alors à l'esprit :

Quel est le nombre minimal de nombres premiers différents qui doivent être présents dans la décompostition de tous les termes d'une telle suite aliquote croissant indéfiniment ? (voir la page du lien ci-dessus)

Dernière modification : 3 mars 2019