Problèmes ouverts théoriques
et défis pour les programmeurs





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Les problèmes ci-dessous sont classés par ordre chronologique dans lequel ils ont été formulés.
Nous n’avons aucune idée de leur difficulté.
Il se peut que certains soient déjà résolus et que nous n’avons tout simplement pas réussi à trouver l'article dans la littérature ou sur des sites internet. Nous donner ces références si elles existent est équivalent à une résolution !





Problèmes théoriques



1°/ Trouver la loi de densité des nombres entiers g(x,y) = x² + xy + y² de Loeschian en fonction de la grandeur de g, x et y étant des entiers naturels.
[RESOLUTION ENTAMEE] par Razvan Barbulescu, première étape le 1er mai 2011. Razvan Barbulescu a démontré qu'une majoration asymptotique pour le nombre d'entiers m inférieures à n tels que 3 divise m et 3 ne divise pas σ'(m) est n/(ln ln (n))^(1/2). Voici la démonstration. A ce jour, la démonstration concernant la densité des nombres de Loeschian reste hors de portée !

2°/ Soit n un entier naturel tel que n = 0[3] (lire 0 modulo 3), démontrer que σ'(n) ≠ 0[3] implique que n est élément de l'ensemble des entiers de Loeschian constitué des nombres entiers g(x,y) = x² + xy +y² avec x et y entiers naturels. (voir début de tentative de démonstration dans le lien Conjectures de Garambois).
[RESOLU] par Razvan Barbulescu, le 17 avril 2011. Voici la démonstration.

3°/ Trouver la forme quadratique (ou démontrer sa non-existence ou sa nature non quadratique) qui produit les entiers n tels que n = 0[5] et σ'(n) ≠ 0[5]. Voir le lien Conjectures de Garambois.

4°/ Cas général : trouver les formes quadratiques (ou démontrer leur non-existence ou leur nature non quadratique) qui produisent les entiers n tels que n = 0[p] et σ'(n) ≠ 0[p] avec p premier. Voir le lien Conjectures de Garambois.
A moins qu'il ne faille trouver les formes quadratiques qui produisent les entiers n tels que n=0[2×3×5×...×p] et σ'(n) ≠ 0[2×3×5×...×p] ! Voir la partie rédigée en gras en cliquant sur le lien autres ensembles S possibles.
Et en particulier, essayer de faire ce travail pour les cas qui nous intéressent le plus : identifier ou caractériser l'ensemble des nombres n = 0[q] tels que σ'(n) ≠ 0[q] (ou son complémentaire : l'ensemble des nombres n = 0[q] tels que σ'(n) = 0[q]) avec q qui sont les guides particuliers qui se conservent le mieux à savoir, 6=2*3 (6 est aussi un driver) ou 120=2^3*3*5 (120 est aussi un driver) ou 30240=2^5*3^3*5*7 qui sont aussi respectivement les plus petits nombres 2-parfait, 3-parfait et 4-parfait. Voir ce qu'est un nombre k-parfait. Lire cette page pour en savoir plus.

5°/ Pour les formes 3° et 4°, trouver les lois de densité comme énoncé en 1°.
Cela prouverait probablement la conjecture de Garambois N°3 :
Un guide dans une suite aliquote a d'autant plus de chances de se conserver au fur et à mesure des itérations, que les termes de la suite aliquote deviennent grands.

6°/ Propriété observée à l’aide d’un ordinateur : il semblerait qu’environ le tiers des entiers soient des nombres intouchables (qui ont 0 antécédents aliquotes), qu’un autre tiers aient 1 seul antécédent et que les proportions suivantes décroissent régulièrement suivant une loi à déterminer. Cette propriété ne semble pas dépendre de la taille des nombres examinés. Qui pourrait démontrer cela ou qui pourrait nous indiquer comment on peut se procurer cette démonstration si elle a déjà été faite ?

7°/ Propriété observée à l’aide d’un ordinateur : il semblerait que 49% environ des nombre pairs soient abondants (n est abondant si σ’(n) > n) et que environ 51% soient déficients (n est déficient si σ'(n) < n). Cette proportion ne semble pas dépendre de la taille des nombres de l'échantillon d'entiers considéré et elle est différente de 50% même si nous ne voyons pas de raison pour qu’elle soit de 50%. Des travaux ont-ils été faits sur le sujet ?

8°/ Nous n’avons pas réussi à nous procurer la démonstration de Erdös qui explique comment il a montré qu'il existe une infinité de nombres intouchables.

9°/ Prouver la conjecture de Garambois N°4 :
Dans les termes d'une suite aliquote, un guide k-parfait se conserve significativement mieux qu'un autre guide du même ordre de grandeur.
La formulation de cette conjecture n'est pas très bonne, mais il est difficile de faire mieux. Que signifie "du même ordre de grandeur" ? Que signifie "se conserve significativement mieux" ? Il s'agit en fait des guides particuliers comme 6=2*3 ou 120=2^3*3*5 ou 30240=2^5*3^3*5*7 qui sont respectivement les plus petits nombres 2, 3 et 4-parfaits dont une très grande proportion des multiples gardent le même guide quand on leur applique la fonction σ'. Cette proportion des multiple qui gardent le même guide est significativement supérieure à celle pour les autres guides du même ordre de grandeur. Mais la conjecture ne dit pas que d'autres guides non k-parfaits ne peuvent pas très bien se conserver dans les termes successifs d'une suite aliquote. C'est d'ailleurs le cas pour certains guides qui se décomposent en très petits nombres premiers et qui ont beaucoup de diviseurs comme 24 (24 est d'ailleurs un des cinq drivers non k-parfaits) ou 360. Ceci dit, les seuls guides non triviaux comme 2 qui se conservent sur la totalité des termes connus d'une suite aliquote sont k-parfaits (exemple de la suite démarrant sur 19560 avec le guide (ou driver) 120 ou celle démarrant sur 13560 avec le guide (ou driver) 6).
Il faut avant d'entreprendre toute tentative de démonstration, essayer de formaliser correctement ces notions de "même ordre de grandeur" et de "proportion significativement supérieure" !
Il n'est pas facile de quantifier clairement la capacité d'un guide à se conserver.
Lire aussi cette page pour en savoir plus.

10°/ Le but ultime à atteindre dans la connaissance des suites aliquotes à statut inconnu :
Infirmer ou confirmer la conjecture de Catalan !
Si la conjecture de Catalan devait être fausse, il y aurait plusieurs options :
Les suites aliquotes pourraient voir leurs termes croître indéfiniment et avoir un facteur de croissance k>1 pour tous leurs termes. Il faudrait alors déterminer la probabilité p pour qu’une suite démarrant sur l’entier n croisse au moins d’un facteur k sur i itérations successives, en fonction de la décomposition de n en facteurs premiers (k un réel connu et i un entier connu) et de faire ensuite tendre i vers l'infini pour connaître le comportement de la suite aliquote. Mais attention ! Cela doit cependant être extrêmement difficile. En effet, d'après Richard K. Guy et John L. Selfridge (voir les références de l'article), il est démontré qu'il est impossible qu'un driver autre que 2 se conserve indéfiniment dans les termes successifs d'une suite aliquote et donc à fortiori qu'il en est de même pour un guide qui par définition se conserve encore moins bien qu'un driver ! Si cela avait été le cas, il aurait suffi de démontrer la persistance indéfinie d'un driver assurant à la suite aliquote un facteur minimal de croissance k>1 sur ses termes successifs pour infirmer la conjecture de Catalan. Comme cela n'est pas possible, le facteur minimal de croissance devrait être assuré autrement qu'en conservant un même driver !
La deuxième option est encore pire : Les suites aliquotes pourraient voir leurs termes croître indéfiniment en jouant au yoyo, c'est à dire sans avoir de facteur de croissance minimal k>1. Il faudrait peut-être pour montrer cela, s'assurer que les drivers ou certains guides sont plus "stables" que tous les downdrivers !



Problèmes à résoudre à l'aide de l'ordinateur, défis pour les programmeurs



Certains nombres entiers sont les départs de suites aliquotes croissantes sur de longues périodes d’un facteur k≥2 ou k≥3 à chaque itération !!! On trouvera une collection de tels entiers ci-dessous.
Qui montrera à l’aide d’un ordinateur que certaines de ces suites ne gardent pas un aussi fort coefficient de croissance k à partir d'un certain rang ?
ATTENTION : en général, "perdre le facteur de croissance k=2" signifie "perdre le driver 120=2^3*3*5", mais ce n'est pas obligatoire.
Toute personne réussissant un tel exploit calculatoire verra son nom sur ce site, ci-dessous en face du nombre pour lequel elle a résolu le problème !

Note : ci-dessous, n:im représente le nombre de la suite aliquote qui démarre en n et que l'on trouve après m itérations.

Voici ci-dessous ces entiers de départ pour k=2 et k=3. Pour savoir comment ont été trouvés ces nombres cliquer ici, Conjectures de Garambois. C'est également en cliquant sur ce lien que l'on retrouvera tous ces nombres dans un tableau, duquel on a enlevé tous ceux pour lesquels le problème a été résolu.

Facteur k=2, calculs poussés pour chaque suite jusqu’à des nombres de 110 chiffres par Edwin Hall (sauf pour de rares exceptions), tous les entiers de ce tableau donnent des suites aliquotes différentes :

19560 Résolution par Paul Zimmermann en cours : 486 itérations, nombres de 170 chiffres (consulter www.factordb.com)
69000 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2010) 69000:i295/69000:i294<2, i294 a 107 chiffres
71640 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 71640:i216/71640:i215<2, i215 a 79 chiffres
102360 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2010) 102360:i333/102360:i332<2, i332 a 118 chiffres
103560 Résolution par un anonyme inachevée : 400 itérations, nombres de 142 chiffres (consulter www.factordb.com)
129720 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 129720:i203/129720:i202<2, i202 a 78 chiffres
199560 Résolution par un anonyme inachevée : 402 itérations, nombres de 141 chiffres (consulter www.factordb.com)
218400 Résolution par un anonyme inachevée : 343 itérations, nombres de 123 chiffres (consulter www.factordb.com)
232680 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 232680:i234/232680:i233<2, i233 a 86 chiffres
235320 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 235320:i206/235320:i205<2, i205 a 86 chiffres
267240 RESOLU par bchaffin (13/08/2011) 267240:i337/267240:i336<2, i336 a 129 chiffres
274848 RESOLU par andi47 (13/08/2011) 274848:i326/274848:i325<2, i325 a 120 chiffres
301800 Résolution par un anonyme inachevée : 401 itérations, nombres de 142 chiffres (consulter www.factordb.com)
304680 RESOLU par Thomas Womack (13/08/2011) 304680:i332/304680:i331<2, i331 a 120 chiffres
321960 Résolution par un anonyme inachevée : 407 itérations, nombres de 144 chiffres (consulter www.factordb.com)
348360 Résolution par un anonyme inachevée : 405 itérations, nombres de 148 chiffres (consulter www.factordb.com)
425280 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2010) 425280:i304/425280:i303<2, i303 a 113 chiffres
454440 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2010) 454440:i269/454440:i268<2, i268 a 97 chiffres
483240 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2010) 483240:i334/483240:i333<2, i333 a 121 chiffres
506040 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 506040:i239/506040:i238<2, i238 a 88 chiffres
518280 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2010) 518280:i284/518280:i283<2, i283 a 108 chiffres
587400 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2010) 587400:i278/587400:i277<2, i277 a 102 chiffres
609960 Résolution par un anonyme inachevée : 407 itérations, nombres de 146 chiffres (consulter www.factordb.com)
638760 Résolution par un anonyme inachevée : 400 itérations, nombres de 143 chiffres (consulter www.factordb.com)
666600 Résolution par un anonyme inachevée : 398 itérations, nombres de 142 chiffres (consulter www.factordb.com)
696840 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2010) 696840:i295/696840:i294<2, i294 a 107 chiffres
699000 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 699000:i214/699000:i213<2, i213 a 79 chiffres
716280 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2010) 716280:i259/716280:i258<2, i258 a 93 chiffres
726840 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2010) 726840:i297/726840:i296<2, i296 a 113 chiffres
735960 Résolution par un anonyme inachevée : 411 itérations, nombres de 144 chiffres (consulter www.factordb.com)
856680 RESOLU par Paul Zimmermann (25/09/2010) 856680:i223/856680:i222<2, i222 a 82 chiffres
861000 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2010) 861000:i296/861000:i295<2, i295 a 108 chiffres
890760 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 890760:i218/890760:i217<2, i217 a 84 chiffres
898920 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 898920:i235/898920:i234<2, i234 a 86 chiffres
909792 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 909792:i213/909792:i212<2, i212 a 81 chiffres
919320 Résolution par un anonyme inachevée : 413 itérations, nombres de 146 chiffres (consulter www.factordb.com)
923400 RESOLU par bchaffin (13/08/2011) 923400:i325/923400:i324<2, i324 a 118 chiffres
949080 Résolution par un anonyme inachevée : 400 itérations, nombres de 147 chiffres (consulter www.factordb.com)
974760 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2010) 974760:i255/974760:i254<2, i254 a 95 chiffres
984360 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (13/08/2011) 984360:i377/984360:i376<2, i376 a 133 chiffres
987240 Résolution par un anonyme inachevée : 406 itérations, nombres de 145 chiffres (consulter www.factordb.com)
989160 Résolution par un anonyme inachevée : 400 itérations, nombres de 141 chiffres (consulter www.factordb.com)
1047000 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 1047000:i186/1047000:i185<2, i185 a 77 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
1057080 Résolution par un anonyme inachevée : 330 itérations, nombres de 122 chiffres (consulter www.factordb.com)
1068120 Résolution par un anonyme inachevée : 318 itérations, nombres de 114 chiffres (consulter www.factordb.com)
1087080 Résolution par un anonyme inachevée : 395 itérations, nombres de 143 chiffres (consulter www.factordb.com)
1099560 Résolution par un anonyme inachevée : 329 itérations, nombres de 116 chiffres (consulter www.factordb.com)
1160544 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2011) 1160544:i328/1160544:i327<2, i327 a 119 chiffres
1160820 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 1160820:i215/1160820:i214<2, i214 a 81 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
1164120 Résolution par Edwin Hall inachevée : 313 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
1185960 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 1185960:i210/1185960:i209<2, i209 a 86 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
1199640 Résolution par Edwin Hall inachevée : 300 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
1213800 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2011) 1213800:i339/1213800:i338<2, i338 a 123 chiffres
1225560 RESOLU par Edwin Hall (05/11/2011) 1225560:i287/1225560:i286<2, i286 a 108 chiffres
1239000 Résolution par un anonyme inachevée : 401 itérations, nombres de 144 chiffres (consulter www.factordb.com)
1260840 RESOLU par Edwin Hall (11/12/2011) 1260840:i300/1260840:i299<2, i299 a 109 chiffres
1295400 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 1295400:i202/1295400:i201<2, i201 a 78 chiffres
1329720 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 1329720:i245/1329720:i244<2, i244 a 91 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
1338600 Résolution par Edwin Hall inachevée : 310 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
1410360 Résolution par Edwin Hall inachevée : 302 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
1413720 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2011) 1413720:i263/1413720:i262<2, i262 a 98 chiffres
1427880 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2011) 1427880:i288/1427880:i287<2, i287 a 109 chiffres
1438080 Résolution par Edwin Hall inachevée : 302 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
1470600 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 1470600:i245/1470600:i244<2, i244 a 89 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
1504608 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2011) 1504608:i263/1504608:i262<2, i262 a 96 chiffres
1543800 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 1543800:i238/1543800:i237<2, i237 a 87 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
1545000 RESOLU par Paul Zimmermann (25/09/2010) 1545000:i220/1545000:i219<2, i219 a 83 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
1557960 Résolution par Edwin Hall inachevée : 309 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
1578360 Résolution par Edwin Hall inachevée : 305 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
1585560 Résolution par Edwin Hall inachevée : 306 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
1606440 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 1606440:i228/1606440:i227<2, i227 a 85 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
1624200 Résolution par Edwin Hall inachevée : 301 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
1650240 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 1650240:i234/1650240:i233<2, i233 a 85 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
1700520 Résolution par Edwin Hall inachevée : 306 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
1715880 Résolution par Edwin Hall inachevée : 301 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
1725000 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2011) 1725000:i285/1725000:i284<2, i284 a 102 chiffres
1761312 Résolution par Edwin Hall inachevée : 309 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
1785480 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 1785480:i233/1785480:i232<2, i232 a 86 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
1823880 RESOLU par Edwin Hall (11/12/2011) 1823880:i294/1823880:i293<2, i293 a 105 chiffres
1895160 RESOLU par Edwin Hall (11/12/2011) 1895160:i271/1895160:i270<2, i270 a 100 chiffres
1917240 Résolution par Edwin Hall inachevée : 307 itérations, nombres de 111 chiffres (consulter www.factordb.com)
1967880 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 1967880:i236/1967880:i235<2, i235 a 86 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
1971240 RESOLU par Edwin Hall (11/12/2011) 1971240:i279/1971240:i278<2, i278 a 102 chiffres
1975080 Résolution par Edwin Hall inachevée : 310 itérations, nombres de 114 chiffres (consulter www.factordb.com)
2014440 Résolution par un anonyme inachevée : 301 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
2019000 Résolution par Edwin Hall inachevée : 305 itérations, nombres de 112 chiffres (consulter www.factordb.com)
2031240 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 2031240:i208/2031240:i207<2, i207 a 79 chiffres
2031960 Résolution par un anonyme inachevée : 334 itérations, nombres de 120 chiffres (consulter www.factordb.com)
2070720 Résolution par un anonyme inachevée : 299 itérations, nombres de 114 chiffres (consulter www.factordb.com)
2088840 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 2088840:i240/2088840:i239<2, i239 a 87 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
2092200 Résolution par Edwin Hall inachevée : 305 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
2128920 Résolution par Edwin Hall inachevée : 296 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
2131800 Résolution par Edwin Hall inachevée : 297 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
2143800 RESOLU par Edwin Hall (11/12/2011) 2143800:i306/2143800:i305<2, i305 a 108 chiffres
2161560 Résolution par Edwin Hall inachevée : 303 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
2179620 Résolution par un anonyme inachevée : 414 itérations, nombres de 147 chiffres (consulter www.factordb.com)
2188680 RESOLU par Edwin Hall (10/11/2011) 2188680:i262/2188680:i261<2, i261 a 97 chiffres
2202360 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2011) 2202360:i275/2202360:i274<2, i274 a 102 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
2215560 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 2215560:i244/2215560:i243<2, i243 a 89 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
2221800 RESOLU par Edwin Hall (11/12/2011) 2221800:i274/2221800:i273<2, i273 a 101 chiffres
2239080 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 2239080:i197/2239080:i196<2, i196 a 76 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
2347320 Résolution par Edwin Hall inachevée : 303 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
2370360 Résolution par Edwin Hall inachevée : 308 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
2401320 RESOLU par Edwin Hall (10/11/2011) 2401320:i295/2401320:i294<2, i294 a 111 chiffres
2417400 RESOLU par Edwin Hall (11/12/2011) 2417400:i283/2417400:i282<2, i282 a 106 chiffres
2457000 RESOLU par Edwin Hall (10/11/2011) 2457000:i253/2457000:i252<2, i252 a 94 chiffres
2470920 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 2470920:i230/2470920:i229<2, i229 a 86 chiffres
2587560 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 2587560:i218/2587560:i217<2, i217 a 87 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
2593248 Résolution par Edwin Hall inachevée : 289 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
2611200 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2011) 2611200:i281/2611200:i280<2, i280 a 103 chiffres
2650368 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 2650368:i247/2650368:i246<2, i246 a 91 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
2666280 Résolution par Edwin Hall inachevée : 293 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
2667000 RESOLU par Edwin Hall (10/11/2011) 2667000:i278/2667000:i277<2, i277 a 102 chiffres
2701320 Résolution par Edwin Hall inachevée : 303 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
2708040 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 2708040:i208/2708040:i207<2, i207 a 78 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
2743080 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 2743080:i243/2743080:i242<2, i242 a 89 chiffres
2776680 Résolution par Edwin Hall inachevée : 307 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
2777880 RESOLU par Edwin Hall (11/12/2011) 2777880:i251/2777880:i250<2, i250 a 106 chiffres
2785560 RESOLU par Paul Zimmermann (25/09/2010) 2785560:i228/2785560:i227<2, i227 a 83 chiffres
2821320 Résolution par Edwin Hall inachevée : 309 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
2833320 Résolution par Edwin Hall inachevée : 277 itérations, nombres de 100 chiffres (consulter www.factordb.com)
2871960 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 2871960:i225/2871960:i224<2, i224 a 85 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
2873640 Résolution par un anonyme inachevée : 334 itérations, nombres de 121 chiffres (consulter www.factordb.com)
2874840 RESOLU par Edwin Hall (10/11/2011) 2874840:i254/2874840:i253<2, i253 a 97 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
2886720 Résolution par Edwin Hall inachevée : 301 itérations, nombres de 111 chiffres (consulter www.factordb.com)
2929560 Résolution par Edwin Hall inachevée : 295 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
2934120 Résolution par Edwin Hall inachevée : 273 itérations, nombres de 99 chiffres (consulter www.factordb.com)
2944680 Résolution par Edwin Hall inachevée : 301 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
2944704 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 2944704:i227/2944704:i226<2, i226 a 90 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
2947320 RESOLU par Paul Zimmermann (25/09/2010) 2947320:i216/2947320:i215<2, i215 a 83 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
2950440 RESOLU par Paul Zimmermann (25/09/2010) 2950440:i215/2950440:i214<2, i214 a 82 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
2954784 RESOLU par Edwin Hall (11/12/2011) 2954784:i290/2954784:i289<2, i289 a 108 chiffres
2971800 RESOLU par Edwin Hall (10/11/2011) 2971800:i261/2971800:i260<2, i260 a 97 chiffres
2982840 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 2982840:i213/2982840:i212<2, i212 a 77 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
3036840 RESOLU par Edwin Hall (10/11/2011) 3036840:i264/3036840:i263<2, i263 a 96 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
3104040 Résolution par Edwin Hall inachevée : 307 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
3113400 RESOLU par Edwin Hall (10/11/2011) 3113400:i268/3113400:i267<2, i267 a 96 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
3143400 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 3143400:i227/3143400:i226<2, i226 a 89 chiffres
3165000 RESOLU par Edwin Hall (11/12/2011) 3165000:i271/3165000:i270<2, i270 a 102 chiffres
3185160 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 3185160:i199/3185160:i198<2, i198 a 80 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
3221880 Résolution par Edwin Hall inachevée : 305 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
3234336 RESOLU par Edwin Hall (11/12/2011) 3234336:i291/3234336:i290<2, i290 a 107 chiffres
3244440 Résolution par Edwin Hall inachevée : 348 itérations, nombres de 125 chiffres (consulter www.factordb.com)
3248040 Résolution par Edwin Hall inachevée : 298 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
3260280 Résolution par Edwin Hall inachevée : 295 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
3274680 RESOLU par Paul Zimmermann (21/09/2010) 3274680:i204/3274680:i203<2, i203 a 76 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
3327240 RESOLU par Paul Zimmermann (21/09/2010) 3327240:i220/3327240:i219<2, i219 a 83 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
3345720 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2011) 3345720:i269/3345720:i268<2, i268 a 101 chiffres
3372360 Résolution par Edwin Hall inachevée : 307 itérations, nombres de 111 chiffres (consulter www.factordb.com)
3383880 Résolution par Edwin Hall inachevée : 305 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
3388440 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 3388440:i240/3388440:i239<2, i239 a 92 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
3412920 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 3412920:i230/3412920:i229<2, i229 a 86 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
3423000 Résolution par Edwin Hall inachevée : 280 itérations, nombres de 111 chiffres (consulter www.factordb.com)
3426360 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 3426360:i221/3426360:i220<2, i220 a 84 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
3468720 RESOLU par Edwin Hall (10/11/2011) 3468720:i268/3468720:i267<2, i267 a 98 chiffres
3475560 Résolution par Edwin Hall inachevée : 355 itérations, nombres de 128 chiffres (consulter www.factordb.com)
3497640 Résolution par un anonyme inachevée : 328 itérations, nombres de 120 chiffres (consulter www.factordb.com)
3497880 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 3497880:i202/3497880:i201<2, i201 a 79 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
3498600 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2011) 3498600:i281/3498600:i280<2, i280 a 102 chiffres
3504600 RESOLU par Edwin Hall (11/12/2011) 3504600:i240/3504600:i239<2, i239 a 101 chiffres
3653160 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 3653160:i193/3653160:i192<2, i192 a 77 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
3653640 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 3653640:i224/3653640:i223<2, i223 a 83 chiffres
3653664 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 3653664:i228/3653664:i227<2, i227 a 87 chiffres
3676200 Résolution par Edwin Hall inachevée : 290 itérations, nombres de 111 chiffres (consulter www.factordb.com)
3700680 RESOLU par Edwin Hall (10/11/2011) 3700680:i267/3700680:i266<2, i266 a 98 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
3717480 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 3717480:i215/3717480:i214<2, i214 a 79 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
3725400 Résolution par Edwin Hall inachevée : 307 itérations, nombres de 111 chiffres (consulter www.factordb.com)
3743400 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 3743400:i208/3743400:i207<2, i207 a 79 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
3743640 Résolution par Edwin Hall inachevée : 309 itérations, nombres de 112 chiffres (consulter www.factordb.com)
3800280 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 3800280:i217/3800280:i216<2, i216 a 81 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
3831240 Résolution par Edwin Hall inachevée : 300 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
3838920 Résolution par Edwin Hall inachevée : 300 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)
3849720 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 3849720:i210/3849720:i209<2, i209 a 78 chiffres
3856200 RESOLU par Edwin Hall (10/11/2011) 3856200:i281/3856200:i280<2, i280 a 104 chiffres
3879456 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 3879456:i236/3879456:i235<2, i235 a 89 chiffres
3890040 Résolution par Edwin Hall inachevée : 307 itérations, nombres de 112 chiffres (consulter www.factordb.com)
3911880 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 3911880:i241/3911880:i240<2, i240 a 93 chiffres, calculs poussés plus loin par Gary Barnes, consulter www.factordb.com.
3923400 RESOLU par un anonyme sur www.factordb.com (2011) 3923400:i256/3923400:i255<2, i255 a 97 chiffres
3972360 Résolution par Edwin Hall inachevée : 299 itérations, nombres de 110 chiffres (consulter www.factordb.com)

Facteur k=3, calculs poussés pour chaque suite jusqu’à des nombres d'une taille précisée (tous les entiers de ce tableau donnent des suites aliquotes différentes) :

[RESOLU] pour tous les cas "Facteur k=3" le 30 avril 2011. Il semble en effet beaucoup plus "dur" pour une suite aliquote de garder un facteur de croissance k supérieur à 3 que de garder un facteur de croissance k supérieur à 2 !

7006880160 RESOLU par Jean-Luc Garambois (26/09/2010) 7006880160:i185/7006880160:i184<3, i184 a 103 chiffres
12896966880 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 12896966880:i141/12896966880:i140<3, i140 a 81 chiffres
22637210400 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 22637210400:i162/22637210400:i161<3, i161 a 92 chiffres
40219472160 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 40219472160:i156/40219472160:i155<3, i155 a 89 chiffres
46826004960 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 46826004960:i158/46826004960:i157<3, i157 a 90 chiffres
50537964960 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 50537964960:i166/50537964960:i165<3, i165 a 93 chiffres
67123213920 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 67123213920:i157/67123213920:i156<3, i156 a 89 chiffres
69394721760 RESOLU par Lionel Muller (13/04/2011) 69394721760:i223/69394721760:i222<3, i222 a 122 chiffres
73483048800 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 73483048800:i181/73483048800:i180<3, i180 a 102 chiffres
90308766240 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 90308766240:i140/90308766240:i139<3, i139 a 81 chiffres
92740908960 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 92740908960:i147/92740908960:i146<3, i146 a 85 chiffres
98898075360 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 98898075360:i149/98898075360:i148<3, i148 a 86 chiffres
103625796960 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 103625796960:i170/103625796960:i169<3, i169 a 96 chiffres
112019211360 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 112019211360:i146/112019211360:i145<3, i145 a 85 chiffres
123743864160 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 123743864160:i143/123743864160:i142<3, i142 a 82 chiffres
130573326240 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 130573326240:i145/130573326240:i144<3, i144 a 84 chiffres
141305441760 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 141305441760:i161/141305441760:i160<3, i160 a 91 chiffres
146927178720 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 146927178720:i152/146927178720:i151<3, i151 a 88 chiffres
149132219040 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 149132219040:i170/149132219040:i169<3, i169 a 96 chiffres
150267489120 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 150267489120:i143/150267489120:i142<3, i142 a 83 chiffres
176076300960 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 176076300960:i145/176076300960:i144<3, i144 a 84 chiffres
180311473440 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 180311473440:i139/180311473440:i138<3, i138 a 81 chiffres
195893540640 RESOLU par Jean-Luc Garambois (31/10/2010) 195893540640:i185/195893540640:i184<3, i184 a 103 chiffres
202635306720 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 202635306720:i141/202635306720:i140<3, i140 a 81 chiffres
203525028000 RESOLU par Lionel Muller (13/04/2011) 223066841760:i218/223066841760:i217<3, i217 a 121 chiffres
223066841760 RESOLU par Lionel Muller (17/04/2011) 203525028000:i214/203525028000:i213<3, i213 a 119 chiffres
223374926880 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 223374926880:i176/223374926880:i175<3, i175 a 100 chiffres
242461144800 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 242461144800:i140/242461144800:i139<3, i139 a 82 chiffres
245285076960 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 245285076960:i141/245285076960:i140<3, i140 a 82 chiffres
247631640480 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 247631640480:i140/247631640480:i139<3, i139 a 82 chiffres
248556863520 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 248556863520:i178/248556863520:i177<3, i177 a 100 chiffres
261762973920 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 261762973920:i142/261762973920:i141<3, i141 a 82 chiffres
280380875040 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 280380875040:i164/280380875040:i163<3, i163 a 93 chiffres
282295510560 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 282295510560:i143/282295510560:i142<3, i142 a 84 chiffres
290359913760 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 290359913760:i145/290359913760:i144<3, i144 a 84 chiffres
308263626720 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 308263626720:i145/308263626720:i144<3, i144 a 85 chiffres
317569684320 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 317569684320:i147/317569684320:i146<3, i146 a 86 chiffres
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340433724960 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 340433724960:i176/340433724960:i175<3, i175 a 100 chiffres
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355812216480 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 355812216480:i143/355812216480:i142<3, i142 a 83 chiffres
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403699615200 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 403699615200:i177/403699615200:i176<3, i176 a 100 chiffres
416510730720 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 416510730720:i143/416510730720:i142<3, i142 a 83 chiffres
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581593007520 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 581593007520:i151/581593007520:i150<3, i150 a 88 chiffres
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590252836320 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 590252836320:i151/590252836320:i150<3, i150 a 88 chiffres
597566077920 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 597566077920:i138/597566077920:i137<3, i137 a 81 chiffres
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602600554080 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 602600554080:i163/602600554080:i162<3, i162 a 94 chiffres
602765120160 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 602765120160:i156/602765120160:i155<3, i155 a 89 chiffres
604476764640 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 604476764640:i160/604476764640:i159<3, i159 a 92 chiffres
613063684800 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 613063684800:i141/613063684800:i140<3, i140 a 82 chiffres
615566377440 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 615566377440:i147/615566377440:i146<3, i146 a 86 chiffres
619576927200 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 619576927200:i144/619576927200:i143<3, i143 a 84 chiffres
620542913760 RESOLU par Lionel Muller (30/04/2011) 620542913760:i235/620542913760:i234<3, i234 a 129 chiffres
636822133920 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 636822133920:i139/636822133920:i138<3, i138 a 81 chiffres
653624082720 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 653624082720:i160/653624082720:i159<3, i159 a 92 chiffres
665844671520 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 665844671520:i141/665844671520:i140<3, i140 a 82 chiffres
666736086240 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 666736086240:i145/666736086240:i144<3, i144 a 83 chiffres
666962583840 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 666962583840:i157/666962583840:i156<3, i156 a 91 chiffres
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677822372640 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 677822372640:i141/677822372640:i140<3, i140 a 82 chiffres
695311132320 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 695311132320:i170/695311132320:i169<3, i169 a 97 chiffres
702867019680 RESOLU par Paul Zimmermann (21/09/2010) 702867019680:i137/702867019680:i136<3, i136 a 80 chiffres
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891148214880 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 891148214880:i138/891148214880:i137<3, i137 a 81 chiffres
891903489120 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 891903489120:i149/891903489120:i148<3, i148 a 86 chiffres
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911262774240 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 911262774240:i139/911262774240:i138<3, i138 a 81 chiffres
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940491125280 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 940491125280:i154/940491125280:i153<3, i153 a 89 chiffres
964951112160 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 964951112160:i155/964951112160:i154<3, i154 a 90 chiffres
989086744800 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 989086744800:i165/989086744800:i164<3, i164 a 94 chiffres
989312698080 RESOLU par Jean-Luc Garambois (22/01/2011) 989312698080:i191/989312698080:i190<3, i190 a 109 chiffres
989608445280 RESOLU par Paul Zimmermann (17/10/2010) 989608445280:i162/989608445280:i161<3, i161 a 93 chiffres
990666361440 RESOLU par Paul Zimmermann (24/09/2010) 990666361440:i145/990666361440:i144<3, i144 a 84 chiffres



Dernière modification : Janvier 2012