Les suites "exotiques"
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Pourquoi étudier des suites exotiques quand on s’intéresse aux suites aliquotes ?
Tout simplement parce que quand on tente de généraliser, il peut apparaître des comportements que l’on ne saurait voir dans le cas particulier des suites aliquotes. Inutile de dire que si ces tentatives de généralisation se sont révélées passionnantes, elles n’ont encore abouti à rien d’intéressant en ce qui concerne les suites aliquotes !
Changer le processus itératif
Il se passe des choses importantes lorsqu’on change le processus itératif.
On peut par exemple décider d’itérer de la façon suivante : n → σ'(n) - 1, ce qui revient en fait à faire à chaque itération la somme des diviseurs de n mais sans compter le diviseur 1 qui est après tout toujours diviseur de n.
On peut d’ailleurs généraliser en étudiant les comportements des suites avec des processus itératifs de la forme n → σ'(n) + b.
Mais on doit alors faire des choix de critères "conventionnels" d’arrêts.
Pour en savoir plus, cliquer ici : autres processus itératifs.
Étendre la fonction sigma à autre chose que des entiers
On peut appliquer la fonction sigma à des nombres entiers relatifs.
On peut appliquer la fonction sigma à des nombres complexes entiers de Gauss.
On peut tenter d’appliquer la fonction sigma à des polynômes à coefficients entiers.
Pourrait-on aussi appliquer la fonction sigma à des matrices carrées à éléments entiers, voir complexes entiers de Gauss ?
Ces idées ont un côté gênant : il y a parfois des choix "conventionnels" à faire à un certain moment.
En ce qui concerne l’application à des matrices carrées, le fait que l’ensemble des matrices carrées soit un anneau non commutatif pose un réel problème.
De plus, on peut décomposer les entiers de façon unique en produits de puissances de nombres premiers.
On peut factoriser les polynômes à coefficients entiers de manière non unique (à cause des coefficients multiplicatifs) en produits de polynômes irréductibles.
Mais en ce qui concerne les matrices, en produit de quels objets pourrait-on les décomposer ?
Pour en savoir plus sur les tentatives qui ont été faites, cliquer ici : Etendre la fonction sigma à autre chose que des entiers.
Dernière modification : Septembre 2010