Existence d'une suite aliquote croissant indéfiniment
dont les termes seraient tous composés d'un nombre fini
de nombres premiers
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Les travaux présentés dans le bas de cette autre page nous ont amenés à nous poser la question suivante :
Peut-il exister une suite aliquote croissant indéfiniment dont tous les termes seraient composés d'un nombre fini de nombres premiers, pouvant toutefois avoir des puissances quelconques ?
Traduisons la question ci-dessus en termes mathématiques.
Notons d'abord que les suites aliquotes aboutissant sur une chaîne aliquote qui boucle lorsqu'on itère sont exclues de notre recherche, car elles ne voient pas leurs termes croître vers l'infini.
Soient les termes Ti d'une hypothétique suite aliquote dont les termes croissent vers l'infini, tous de la forme Ti = p1a1(i) * p2a2(i) * ........ * pMaM(i)
M est un nombre entier fini.
{p1, p2, ........, pj, ........, pM} est donc un ensemble de taille finie de nombres premiers, 1<=j<=M.
Ce sont donc toujours les mêmes nombres premiers qui composent les termes Ti de l'hypothétique suite aliquote croissant vers l'infini.
a1(i), a2(i), ........, aM(i) sont les exposants des nombres premiers composant les termes Ti de la suite aliquote.
Ce ne sont jamais tous les mêmes pour deux termes quelconques de la suite aliquote.
Ils peuvent prendre toutes les valeurs entières et même être nuls, c'est-à-dire qu'il peut manquer des nombres premiers pj dans la décomposition d'un terme de la suite.
Ces exposants ne peuvent pas être bornés, sinon, le nombre de termes possibles pour la suite aliquote serait fini.
Si l'on prouve la possibilité de l'existence d'une telle suite aliquote, une deuxième question vient alors à l'esprit.
Quelle est la taille minimale possible de M pour qu'une telle suite croissant indéfiniment puisse exister ? (voir la page du lien ci-dessus)
Répondre à la première question par l'affirmative et encore mieux à la deuxième permettrait enfin de faire une recherche plus efficace de suites aliquotes croissant vers l'infini.
Trouver des suites aliquotes croissant vers l'infini avec un nombre fini de nombres premiers dans la décomposition de tous leurs termes nous apparaît comme la méthode la plus simple pour infirmer la conjecture de Catalan.
Répondre par la négative à la première question nous permettrait d'arrêter certains programmes de recherche tournant actuellement sur nos machines basés sur l'existence possible de telles suites aliquotes.
Répondre par la négative ne signifierait pas qu'il n'existe pas de suite aliquote croissant vers l'infini, mais seulement que si elles existent, leurs termes sont composés d'une infinité de nombres premiers différents.
Cela complique fortement la recherche ou la construction de telles suites contredisant la conjecture de Catalan.
Notons que plusieurs personnes interrogées, dont moi (Garambois), pensons qu'il est très peu probable que la réponse à la première question soit :
"OUI, il existe de telles suites aliquotes croissant indéfiniment dont les termes sont tous composés d'un nombre fini de nombres premiers."
Notons que les questions posées sur cette page sont présentées comme notre 13ème problème ouvert sur notre page des problèmes ouverts.
Dernière modification : 24 août 2018