Les suites aliquotes à statut inconnu
Conjecture de Catalan
Conjectures de Garambois
Théorème de Barbulescu-Garambois
(sur la vitesse de croissance de séquences de suites aliquotes)
Théorème de Chtaibi-Garambois
(sur la conservation des guides en fonction
de la taille des termes de la suite aliquote)
Conservation d'un facteur premier
à une puissance donnée (Youssef Chtaibi)
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Les suites aliquotes à statut inconnu ou OE-sequences
D’autres suites aliquotes semblent monter indéfiniment vers l’infini. 276 est le premier entier qui pose ce problème. Voir les autres sites pour en savoir plus et pour voir les différents records.
Cette conjecture dit que :
Toutes les suites aliquotes aboutissent soit sur 1, soit sur une chaîne aliquote.
Consulter les autres sites pour en savoir plus.
Jean-Paul Delahaye notait déjà dans son article qu'à son avis, cette conjecture pouvait être fausse.
En effet, toutes ces suites à statut inconnu sont constituées au bout d’un certain nombre d’itérations de nombres uniquement pairs.
Or plus les nombres deviennent grands, moins il y a de chances que leur parité ne change.
Quand on itère avec la fonction σ’, il ne peut y avoir changement de parité (cliquer ici pour voir la démonstration) que pour un carré parfait ou pour un double de carré parfait.
Ceci signifie concrètement qu'un entier n a de l'ordre d'une chance sur √n seulement de changer de parité lorsqu’on lui applique la fonction σ'.
De plus, pour les nombres pairs, le quotient σ'(n)/n (cliquer ici pour en voir les anciens arguments heuristiques) est en moyenne supérieur à 1. Ce coefficient moyen vaut exactement C1=(5/4)(π²/6)-1 ≈ 1.056167 … Cela a été démontré rigoureusement dans le cas général par Youssef Chtaibi en mai 2012, cliquer ici pour voir cette démonstration. C’est cette supériorité à 1 qui ferait que la suite est toujours croissante, ses termes restant pairs ! Une autre démonstration rigoureuse (cliquer ici pour la voir) a été faite aussi par Youssef Chtaibi du fait que la moyenne des σ'(n)/n sur tous les n vaut (π²-6)/6. Avec cette autre démonstration de Youssef Chtaibi, on notera aussi que ce qui est présenté page 103 dans l'article de Jean-Paul Delahaye comme un argument heuristique n'est désormais plus un argument "heuristique", mais est démontré !
Les choses se compliquent quand on itère plusieurs fois par la fonction σ' lorsqu'on calcule une suite aliquote. En effet, le cofficient moyen de croissance Ck lorsqu'on passe du terme k-1 au terme k n'est pas constant : ce coefficient croit lorsque k croit, chose que l'on a longtemps ignorée !
Cliquer ici pour avoir une idée dont ces coefficients croissent.
Cliquer ici pour en savoir plus sur ce qui suit et pour savoir pourquoi ont été formulées les Conjectures de Garambois, dont deux sont aujourd'hui devenue des théorèmes : le théorème de Barbulescu-Garambois et le théorème de Chtaibi-Garambois.
L’erreur que nous avons longtemps commise, c’est de considérer les nombres pairs dans leur globalité, « en moyenne ». En fait, le devenir de la suite aliquote démarrant sur le nombre pair n et sa vitesse de croissance sur plusieurs itérations sont fonction de la seule décomposition de n en facteurs premiers !!!
Les conjectures énoncées plus bas partent d’un constat :
Tout comme la fonction σ’ a tendance à « préserver » la divisibilité par 2 des nombres (voir ci-dessus), ou dit autrement à garder le driver 2, elle semble avoir tendance à préserver la divisibilité par 3, 5, 7, 11 … et même par des guides ou des drivers composés comme par exemple 120=23*3*5. Cliquer ici pour voir des arguments numériques qui tendent à montrer ce qui est avancé.
Mais il n’y pas que des arguments numériques qui au final ne démontrent rien.
En effet : les seuls nombres divisibles par 3 pour lesquels la fonction σ’ ne conserve pas la divisibilité par 3 sont sans exception des nombres divisibles par 3 de la suite de Loeschian classée par Neil Sloane A003136.
Ces nombres sont produits par la forme quadratique g(x,y) = x² + xy + y² lorsque x et y prennent toutes les valeurs entières.
Cela a été démontré par Razvan Barbulescu.
Cliquer ici pour voir cette démonstration.
Or, ces nombres semblent se « raréfier » quand g devient grand, mais cela reste à démontrer. Pour l'instant, Razvan Barbulescu a démontré qu'une majoration asymptotique pour le nombre d'entiers m inférieures à n tels que 3 divise m et 3 ne divise pas σ'(m) est n/(ln ln (n))^(1/2). Voici cette démonstration. A ce jour, la démonstration concernant la densité des nombres de Loeschian reste hors de portée !
Donc les nombres entiers n divisibles par 3 qui ne le restent pas après une itération se raréfient d'une manière certaine comme c’est le cas avec la divisibilité par 2. Nous ne connaissons pas encore cette loi exacte de raréfaction, juste une majoration. En tout cas, cette raréfaction doit être beaucoup plus lente que celle dans le cas de la divisibilité par 2.
Le tiers des nombres pairs seraient donc les nombres de départ de suites aliquotes dont les termes auraient tendance à rester divisibles par 3 (et bien sûr par 2) et ce d'autant plus que les termes deviennent grands.
Or un nombre divisible par 2 et par 3 (et donc encore forcément au moins par un autre nombre premier q) a une somme de ses parties aliquotes au moins égale à σ'(n) = 1 + 2 + 3 + q + 2q + 3q … + n/2 + n/3 + n/6 + n/q + n/(2q) + … > n, ce qui fait qu’à chaque itération, les termes de la suite croissent.
On aboutit donc à la formulation de la première conjecture allant à l’encontre de celle de Catalan.
Une suite aliquote démarrant sur un entier pair a au moins une chance sur trois de croître indéfiniment.
Cette conjecture est cependant très fragile. En effet : si les nombres de Loeschian se raréfient, ils ne se raréfient peut-être pas assez vite et la croissance des termes n'est du coup pas assez rapide pour que la probabilité de garder le guide 3 sur un grand nombre d'itérations tende vers 100%. Mais cette dernière probabilité est très difficile à calculer, voire impossible et elle pourrait bien tendre vers 0 quelle que soit la taille de l'entier de départ de la suite aliquote.
L'avenir le dira, mais il se peut que la conjecture de Garambois N°1 soit remplacée par quelque chose de très ressemblant impliquant un driver ou un guide plus grand que 2*3.
Il semble par ailleurs que de même que pour p=2 ou p=3, la fonction σ' garde sa divisibilité par p avec p un premier plus grand que 3.
Mais en ce qui concerne 5 ou p quelconque plus grand, nous n’avons pas encore trouvé les formes quadratiques associées (si elles existent et si elles sont effectivement quadratiques !!!)
Or, pour que σ'(n)/n soit le plus grand possible (nous rappelons qu'il peut être aussi grand que l’on veut !), il faut que n ait le plus de diviseurs possible.
Si on veut de plus que la suite croissent le plus vite possible lorsqu’on itère, il faut que les termes de la suite conservent ces diviseurs.
Comme cela est d’autant plus le cas que les termes sont grands (voir plus bas, le théorème de Chtaibi-Garambois), cela a aboutit à la formulation de la conjecture de Garambois N°2 qui est aujourd'hui démontrée et qui est donc devenue le théorème de Barbulescu Garambois, car c'est Razvan Barbulescu qui a fait cette démonstration qui est un corollaire d'un théorème de Lenstra ! Ce théorème ne va pas forcément à l'encontre de la conjecture de Catalan :
Il existe une suite aliquote croissant à chaque itération d’un facteur au moins k sur i itérations successives avec k et i aussi grands que l’on veut.
Cliquer ici pour voir la démonstration faite par Razvan Barbulescu du théorème de Barbulescu-Garambois.
Cliquer ici pour voir la démonstration faite par Razvan Barbulescu du théorème de Barbulescu-Garambois en anglais.
Cliquer ici pour voir l'article de Erdös cité par Razvan Barbulescu dans son théorème.
Ce qui précède nous a aussi permis de formuler la 3ème conjecture de Garambois.
Un guide (ou un driver ou n'importe quel diviseur) dans une suite aliquote a d'autant plus de chances de se conserver au fur et à mesure des itérations, que les termes de la suite aliquote deviennent grands.
Voir d'abord les arguments numériques qui ont amené à formuler cette ancienne conjecture aujourd'hui démontrée.
Youssef Chtaibi a en fait démontré quelque chose d'encore plus puissant qui implique le théorème de Chtaibi-Garambois, c'est le théorème de Chtaibi :
La densité (asymptotique) des entiers n divisibles par m tel que m ne divise pas σ'(n) est nulle.
Et on a en plus la majoration asymptotique suivante pour tout nombre réel x suffisamment grand :
Am(x) := card{n≤x tel que m divise n et m ne divise pas σ'(n)} = O(x/[ln ln(x)]1/Φ(m)) avec Φ étant la fonction indicatrice d'Euler.
Cliquer ici pour voir cette démonstration, validée par Razvan Barbulescu.
Cliquer ici pour voir cette démonstration en anglais.
Certains guides comme 23*3*5=120 ou comme 25*33*5*7=30240 se conservent mieux que les autres du même ordre de grandeur au fur et à mesure des itérations dans une suite aliquote. Ces guides sont respectivement les plus petits nombres 3-parfaits et 4-parfaits. On notera que cela semble aussi être le cas pour le driver 2*3=6 qui est le premier nombre 2-parfait appelé plus couramment nombre parfait, mais c'est moins flagrant dans ce dernier cas. Nous énonçons donc ci-dessous la conjecture de Garambois N°4 :
Dans les termes d'une suite aliquote, un guide k-parfait se conserve significativement mieux qu'un autre guide du même ordre de grandeur.
On pourra cliquer ici pour connaitre les plus petits nombres k-parfaits pour k=1 à 10.
Qu'est-ce qui fait qu'il en est ainsi ?
Les nombres n divisibles par ces guides qui le restent pour σ'(n) sont très courants. Il y a par exemple tous ceux de la forme n=qp avec q un nombre k-parfait qui est le guide en question et p un nombre premier différent de ceux qui composent q, qui ont une somme de leurs parties aliquotes σ'(n)=(k-1)n+kq=q[(k-1)p+k] et par conséquent restent divisible par q (le guide est conservé). Voir la démonstration. Et il y a bien d'autres n que ceux de la forme n=qp qui conservent ces guides, ce qui fait que d'itération en itération, on a de fortes chances de "tomber" sur eux. En fait, on a très rapidement plus de la moitié des multiples de ces guides qui restent divisibles par ces mêmes guides lorsqu'on leur applique la fonction σ'. Voir aussi des arguments numériques qui corroborent cette remarque. Nous n'avons cependant pas encore réussi à caractériser tous les nombres n divisibles par un de ces guides donné dont σ'(n) reste aussi divisible par ce guide !
Attention, cette conjecture ne dit pas qu'il ne peut pas y avoir des nombres non k-parfaits qui se conservent eux aussi très bien dans les termes successifs d'une suite aliquote !
Théorème de Chtaibi N°2 sur la conservation d'un facteur premier à une puissance donnée dans les termes d'une suite aliquote :
Youssef Chtaibi a démontré en juin 2012 que le guide qα d'un terme d'une suite aliquote, se conserve dans le terme suivant si dans ce terme, il y a au moins (α+1) autres facteurs premiers qui valent -1[q] et qui ont une puissance impaire.
Voir cette démonstration.
Ce qui précède nous laisse entrevoir la découverte future de suites aliquotes vraiment très surprenantes ! En voici un petit aperçu ci-dessous.
Exemples :
L’entier 19560 est le départ d’une suite aliquote croissant à chaque itération d’un facteur au moins 2 et ce au moins jusqu'à la 565ème itération où l'on atteint des nombres de 197 chiffres. Ces calculs ont été menés par Paul Zimmermann à l'aide du logiciel CADO-NFS et les résultats sont consultables dans la base de données à l'adresse www.factordb.com, en cliquant sur l'onglet "Sequences". Le facteur k=2 tient toujours !!
On trouvera d'autres exemples de tels nombres en cliquant sur le lien problèmes ouverts !!
Nous devrions bientôt trouver des entiers pour lesquels le facteur 3 ou 4 tiendra. Ce n’est qu’une question de temps !!
Notons que pour trouver des suites aliquotes à gros coefficients de croissance σ'(n)/n sur un grand nombre d’itérations successives, il suffit de prendre un nombre de la forme :
N=2a3b5c7d11e13f17g…, avec a et b assez grands (mais pas quelconques) et avec c, e, g impairs et d, f qui valent 2[3] (à lire 2 modulo 3). Cliquer sur le lien ci-dessous pour comprendre le choix de ces critères sur a, b, c, e, g, d et f. Attention, N ne doit pas non plus être un carré parfait ou le double d'un carré parfait !
C'est seulement une fois que les conjectures de Garambois et le théorème Barbulescu Garambois ont été énoncés que la recherche d'exemples tels que ceux donnés ci-dessus a débuté. Avant, personne n'imaginait un entier aussi "petit" que 7006880160 qui puisse être le départ d'une suite aliquote croissant à chaque itération d'un facteur au moins 3, sur tant d'itérations successives ! Le lien ci-dessous donne d'autres exemples de ce type.
Cliquer ici pour en savoir plus et pour savoir pourquoi ont été formulées les Conjectures de Garambois, dont deux sont aujourd'hui devenues les théorèmes de Barbulescu-Garambois et de Chtaibi-Garambois.
Ce deux conjectures sont d'un formalisme trop compliqué pour être énoncées ici.
Cliquer ici pour voir ces deux conjectures formalisées avec une notation mathématique correcte, ainsi que de nouvelles questions ouvertes.
But ultime à atteindre dans la connaissance des suites aliquotes à statut inconnu :
Infirmer ou confirmer la conjecture de Catalan !
Si la conjecture de Catalan devait être fausse, il y aurait plusieurs options :
Les suites aliquotes pourraient voir leurs termes croître indéfiniment et avoir un facteur de croissance k>1 pour tous leurs termes. Il faudrait alors déterminer la probabilité p pour qu’une suite démarrant sur l’entier n croisse au moins d’un facteur k sur i itérations successives, en fonction de la décomposition de n en facteurs premiers (k un réel connu et i un entier connu) et de faire ensuite tendre i vers l'infini pour connaître le comportement de la suite aliquote. Mais attention ! Cela doit cependant être extrêmement difficile. En effet, d'après Richard K. Guy et John L. Selfridge (voir les références de l'article), il semblerait qu'il soit impossible qu'un driver autre que 2 se conserve indéfiniment dans les termes successifs d'une suite aliquote et donc à fortiori qu'il en est de même pour un guide qui par définition se conserve encore moins bien qu'un driver ! Mais cette observation n'est que numérique et pas encore démontrée aujourd'hui. Cela resterait vrai malgré le théorème de Chtaibi-Garambois (voir ci-dessus) et ne serait pas incompatible avec ce théorème. S'il devait être démontré qu'un driver peut se conserver indéfiniment dans les termes d'une suite aliquote, il suffirait de démontrer la persistance indéfinie d'un driver particulier assurant à la suite aliquote un facteur minimal de croissance k>1 sur ses termes successifs pour infirmer la conjecture de Catalan. S'il devait être démontré qu'aucun driver ne peut se conserver indéfiniment, le facteur minimal de croissance devrait être assuré autrement qu'en conservant un même driver !
La deuxième option est encore pire : Les suites aliquotes pourraient voir leurs termes croître indéfiniment en jouant au yoyo, c'est à dire sans avoir de facteur de croissance minimal k>1. Il faudrait peut-être pour montrer cela, s'assurer que les drivers ou certains guides sont plus "stables" que tous les downdrivers !
Cliquer ici pour connaître les différentes options pour tenter d'infirmer la conjecture de Catalan.
Dernière modification : Août 2015