Les suites aliquotes


Base de données


Aliquot sequences


Data base







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Les antécédents aliquotes de tous les entiers de 1 à 100 000
(aliquot antecedents of the integers from 1 to 100 000)
 :



Télécharger (download) "antecedents_1e5.tar.lzma" (size : 83.9 Mo) les antécédents aliquotes pour tous les entiers jusqu'à 100 000.

Ce tableau commence ainsi :
[[0], [1], [2], [3, 4], [4, 9], [5], [6, 6, 25], [7, 8], [8, 10, 49], [9, 15], [10, 14], [11, 21], [12, 121], [13, 27, 35], [14, 22, 169] .......
Pour le premier élément du tableau ([0]), les données n'ont aucun sens.
Pour le deuxième élément du tableau ([1]), en toute rigueur, on devrait avoir : [1, 2, 3, 5, 7, 11, 13.....], c'est-à-dire 1, suivi de tous ses antécédents aliquotes, l'ensemble infini des nombres premiers, car tous les nombres premiers sont des antécédents aliquotes de 1. Mais pour des raisons évidentes, il est inutile de stocker ici l'ensemble des nombres premiers.
A partir du troisième élément du tableau ([2]), les données sont rigoureuses.
[2] signifie que 2 est un nombre intouchable et n'a donc aucun antécédent aliquote (à sa droite).
[3, 4] signifie que 3 a un seul antécédent aliquote qui est 4.
[4, 9] signifie que 4 a un seul antécédent aliquote qui est 9.
[5] signifie que 5 n'a aucun antécédent aliquote, c'est un nombre intouchable.
[6, 6, 25] signifie que 6 a 2 antécédents aliquotes qui sont 6 et 25.
............
[13, 27, 35] signifie que 13 a 2 antécédents aliquotes qui sont 27 et 35.
............
Ce tableau contient 100 000 éléments qui sont donc eux-mêmes des tableaux dont la première valeur est un entier et les suivantes à côté (s'il y en a), ses antécédents aliquotes. Si l'entier est seul, alors c'est un nombre intouchable sans antécédents aliquotes.




Nombre d'antécédents aliquotes pour tous les entiers de 1 à 10 000 000 et pour tous les entiers de 1 à 50 000 000
(number of aliquot antecedents of the integers from 1 to 10 000 000 and of the integers from 1 to 50 000 000)
 :
Neil Sloane A048138, but more here !



Télécharger (download) "valitttop_1e7.zip" (size : 14.9 Mo) le nombre d'antécédents aliquotes pour tous les entiers jusqu'à 10 000 000.

Ce tableau est en format texte et commence ainsi :
{569493438, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 2, .......
Si 1 a tant d'antécédents aliquotes dans ce tableau, c'est parce que tous les nombres premiers sont ses antécédents et que pour obtenir ce tableau, il a fallu tester jusqu'à une certaine limite en deça de laquelle il y avait autant de nombres premiers. En toute rigueur, il devrait y avoir marqué "Infinity" à côté de 1.
ATTENTION : 1 est le seul entier de ce tableau pour lequel le nombre d'antécédents est donc inexacte !
Ensuite, comme l'indique le tableau, 2 n'a pas d'antécédent aliquote, 3 en a un (qui est 4), 4 en a un (qui est 9), 5 n'en a pas, etc...
Ce tableau contient donc 10 000 000 d'entiers en mémoire.


Télécharger (download) "valitttop_5e7.zip" (size : 86.6 Mo) le nombre d'antécédents aliquotes pour tous les entiers jusqu'à 50 000 000.

Ce tableau est en format texte et commence ainsi :
{0, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 2, .......
ATTENTION : une seule valeur de ce tableau est fausse : la toute première qui ne vaut pas 0 mais le nombre infini, car 1 a une infinité d'antécédents aliquotes, tous les nombres premiers.
Ensuite, comme l'indique le tableau, 2 n'a pas d'antécédent aliquote, 3 en a un (qui est 4), 4 en a un (qui est 9), 5 n'en a pas, etc...
Ce tableau contient donc 50 000 000 d'entiers en mémoire.
Il a fallu plus de deux années entières de calcul pour l'obtenir sur un thread : de février 2013 à mai 2015 !
Over 2 years to get calculation on one thread !




Nombre d'antécédents aliquotes pour tous les nombres pairs jusqu'à 250 000 000 ou 500 000 000
(number of aliquot antecedents of the even numbers from 0 to 250 000 000 or 500 000 000)
 :



Télécharger (download) "antecpairnomb_25e7.zip" (size : 47.9 Mo) le nombre d'antécédents aliquotes pour tous les entiers pairs jusqu'à 250 000 000.
Télécharger (download) "antecpairnomb_5e8.zip" (size : 95.6 Mo) le nombre d'antécédents aliquotes pour tous les entiers pairs jusqu'à 500 000 000.

Ces tableaux sont en format texte et commencent ainsi :
[0, 0, 1, 2, 2, 1, 1, ...............]
Le premier 0 est là pour le nombre d'antécédents de 0 qui n'a probablement pas de sens.
puis viennent :
0 car 2 n'a aucun antécédent aliquote
1 car 4 n'en a qu'un (qui est 9)
2, car 6 en a deux (qui sont 6 et 25)
Etc...
Ces tableaux ont donc respectivement 125 000 001 valeurs en mémoire et 250 000 001 valeurs en mémoire.




Nombre d'antécédents aliquotes pour tous les nombres pairs compris entre 10^11 et 10^11+2*10^7
(number of aliquot antecedents of the even numbers from 10^11 to 10^11+2*10^7)
 :



Télécharger (download) "antecpairnomb_1e11+2e7.tar.lzma" (size : 3.1 Mo) le nombre d'antécédents aliquotes pour tous les entiers pairs compris entre 10^11 et 10^11+2*10^7.

Ce tableau est en format texte et commencent ainsi :
[1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, ...............]
Cela signifie que :
100000000000 a 1 antécédent aliquote.
100000000002 a 0 antécédent aliquote.
100000000004 a 3 antécédents aliquotes.
100000000006 a 1 antécédent aliquote.
Etc...
Ce tableau a donc 10 000 000 valeurs en mémoire.




Nombres amis intouchables
Untouchable amicable numbers
A238382
 :



Télécharger les 186 premiers termes (download the 186 first terms), "untouchable_amicable_numbers.zip" (size : 1.2 ko)

Ce tableau est en format texte et commence ainsi :
[356408, 399592, 643336, 652664, 5232010, 5799542, 9363584, 9437056, 10596368 ...............]
Voir le programme en langage Python permettant d'obtenir ces nombres.




Base de données fondamentale sur les suites aliquotes : informations sur toutes les suites aliquotes qui commencent par tous les entiers n pour n de 2 à L=30000000 (voir date de mise à jour en bas de page)
(Fundamental data base on aliquot sequences : informations about all aliquot sequences from 2 to L=30000000)

Notons que les calculs sont de plus en plus longs à cause de la croissance des tableaux des fichiers complémentaires (voir plus bas).
Il faudra donc attendre toujours plus longtemps pour voir L augmenter, les calculs sont en cours !


La base de données fondamentale

Télécharger (download) "regina_file.tar.lzma" (size : 764.9 Mo) les données pour toutes les suites aliquotes de 2 à L.

Forme générale de chaque ligne de cette base de données :
Each line of the file represents a sequence and is written like this :

A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T

A : starting integer of the aliquot sequence.
B : relative integer which is 1 if the aliquot sequence from start A ends up at 1, which is 0 if the sequence is open-end, which is negative if the sequence falls on a cycle of length |B|, with |B| being the absolute value of B.
C : number of iterations at the end of the computation of the sequence. We stop the calculation if we end up with 1, if we find a cycle or if the terms are greater than 10^50 and we consider it as an open-end sequence (or if the sequence meets a term of 25 digits of an open-end sequence already calculated previously, to decrease the calculation time).
D : if B is 1, D is the prime number on which the starting sequence A fell. If B is 0, D is the smallest starting integer of the open-end sequence merged by the starting sequence A. If B is negative, D is the integer belonging to the cycle by which the starting sequence A entered this cycle.
E : if B is 1, E tells for how many other sequences one has already fallen on the prime number D, including the starting sequence A. If B is 0, E tells for how many other sequences one has already fallen on the open-end beginning with D, including the starting sequence A. If B is negative, E tells for how many other sequences one has already fallen on the same cycle, including the starting sequence A.
F : number of digits of the largest term of the starting sequence A.
G : number of relative minimums of the starting sequence A.
H : number of relative maximums encountered in the starting sequence A.
I : number of parity changes encountered in the starting sequence A.
J : record number of consecutive even abundant terms in the starting sequence A.
K : record number of consecutive even deficient terms in the starting sequence A.
L : record number of consecutive odd deficient terms in the starting sequence A.
M : record number of consecutive odd abundant terms in the starting sequence A.
N : number of downdriver extracts in the sequence : terms of the form 2^1 * cofactor with 3 which does not divide cofactor.
O : smallest quotient of two consecutive terms su+1(A)/su(A) found in the whole starting sequence A, except the last quotient if B=1 and A not prime (if A is prime, the only quotient is the last quotient and it has no sense, because the last but one term of the aliquot sequence is prime and so the last quotient can be very small if this prime number is large).
P : largest quotient of two consecutive terms su+1(A)/su(A) found in the whole starting sequence A.
Q : arithmetic mean of su+1(A)/su(A), that is to say arithmetic mean of all the quotients of two consecutive terms of the starting sequence A, except for the last quotient if B=1 (this last quotient is the unique one if A is prime and in this last case, we count it anyway). We make the sum of all su+1(A)/su(A), 0<=u<=C, and we divide it by the number C; or by C-1 if B=1 and if A is not prime.
R : geometric mean of su+1(A)/su(A), i.e. geometric mean of all the quotients of two consecutive terms of the starting sequence A, except for the last quotient if B=1 (this last quotient is the only one if A is prime and in this last case, it is counted anyway). We make the product of all su+1(A)/su(A) with 0<=u<=C, that comes back to consider finally only the quotient of the last term of the sequence by the first term, and we raise this exponent to the power 1/C ; or by C-1 if B=1 and if A is not prime. Be careful with the entry in the cycles : here, we only count all the members of the cycle once. But if we want another geometric mean, we can find it with the other parameters of the line. For example, we can want the geometric mean of the sequence without the cycle, or by counting the number of entries in the cycle twice...
S : arithmetic mean of the number of digits of all the minimums of the sequence.
T : arithmetic mean of the number of digits of all the maximums of the sequence.


Exemple, voici quelques lignes de cette base de données :
Here are some lines from the regina file as an example :

2,1,1,2,1,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0.5000000000,0.5000000000,0.5000000000,0.5000000000,0,0
3,1,1,3,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0.3333333333,0.3333333333,0.3333333333,0.3333333333,0,0
4,1,2,3,2,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0.7500000000,0.7500000000,0.7500000000,0.7500000000,0,0
5,1,1,5,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0.2000000000,0.2000000000,0.2000000000,0.2000000000,0,0
6,-1,1,6,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1.000000000,1.000000000,1.000000000,1.000000000,0,0
7,1,1,7,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0.1428571429,0.1428571429,0.1428571429,0.1428571429,0,0
8,1,2,7,2,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0.8750000000,0.8750000000,0.8750000000,0.8750000000,0,0
9,1,3,3,3,1,0,0,2,0,0,1,0,0,0.4444444444,0.7500000000,0.5972222222,0.5773502692,0,0
10,1,3,7,3,2,0,0,1,0,1,1,0,1,0.8000000000,0.8750000000,0.8375000000,0.8366600265,0,0
11,1,1,11,1,2,0,0,0,0,0,1,0,0,0.09090909091,0.09090909091,0.09090909091,0.09090909091,0,0
12,1,6,3,4,2,0,1,3,1,0,1,0,0,0.4444444444,1.333333333,0.8130555555,0.7578582833,0,2.000000000
13,1,1,13,1,2,0,0,0,0,0,1,0,0,0.07692307692,0.07692307692,0.07692307692,0.07692307692,0,0
14,1,4,7,4,2,0,0,1,0,2,1,0,1,0.7142857143,0.8750000000,0.7964285714,0.7937005260,0,0
...
...
138,1,177,59,2,12,14,15,1,31,37,2,0,9,0.2226415094,2.472557387,1.097090035,0.9951837026,5.714285714,6.533333333
...
...
276,0,491,276,1,51,30,30,0,164,55,0,0,2,0.5000000000,2.918415621,1.365056702,1.250148383,26.43333333,27.03333333
277,1,1,277,1,3,0,0,0,0,0,1,0,0,0.003610108303,0.003610108303,0.003610108303,0.003610108303,0,0
278,1,6,43,42,3,1,1,1,1,3,1,0,2,0.5107913669,1.250000000,0.7364917336,0.6884695423,2.000000000,2.000000000
279,1,2,137,2,3,0,0,0,0,0,2,0,0,0.4910394265,0.4910394265,0.4910394265,0.4910394265,0,0
280,1,15,41,31,3,2,3,1,3,6,2,0,2,0.5066079295,1.571428571,0.9314937741,0.8717698494,2.500000000,2.666666667
281,1,1,281,1,3,0,0,0,0,0,1,0,0,0.003558718861,0.003558718861,0.003558718861,0.003558718861,0,0
282,1,16,163,2,5,0,1,1,11,0,4,0,0,0.1080225678,1.971428571,1.188064593,0.9641158730,0,5.000000000
283,1,1,283,1,3,0,0,0,0,0,1,0,0,0.003533568905,0.003533568905,0.003533568905,0.003533568905,0,0
284,-2,2,284,2,3,1,0,0,1,1,0,0,0,0.7746478873,1.290909091,1.032778489,1.000000000,3.000000000,0
...
...
306,0,144,276,2,26,1,1,0,136,2,0,0,1,0.8047493404,2.872578052,1.512782551,1.437485463,4.000000000,4.000000000
...
...


Grâce à cet exemple, on identifie que les suites aliquotes de départs 6 et 284 aboutissent respectivement sur des chaînes aliquotes de 1 et de 2 maillons.
On identifie aussi par exemple que la suite aliquote de départ 279 aboutit à 1 au bout de 2 itérations par le nombre premier 137 et que c'est seulement la deuxième suite aliquote qui aboutit sur le nombre premier 137.
On identifie que la suite aliquote de départ 280 aboutit à 1 au bout de 15 itérations par le nombre premier 41, que c'est la 31ème qui aboutit à ce nombre premier, qu'il y a trois maximums relatifs pour cette suite aliquote, et bien d'autres choses...
On identifie aussi que la suite aliquote de départ 306 est open-end, et qu'elle a rencontré la suite aliquote open-end de départ un entier plus petit qui est 276. Ainsi, les calculs ont été arrêtés à 144 itérations dès que les termes ont dépassé 10^25, les autres données n'ayant pas de sens. Il vaut alors mieux se reporter à la suite aliquote de départ 276.


Les fichiers complémentaires

Pour compléter cette base de données et pour faciliter les calculs, il faut encore posséder trois autres fichiers annexes :
Attention, ces trois exemples ci-dessous ne sont exacts que si l'on a fait tous les calculs jusqu'à n=1000 soit avec L=1000, ils constituent juste un exemple (les fichiers téléchargeables sont valables pour la valeur bien plus grande de L spécifiée plus haut).

Télécharger (download) "regina_cycles.tar.lzma" (size : 2.3 ko) le fichier de comptage des suites aliquotes aboutissant sur chaques chaînes aliquotes.
Ce fichier commence ainsi (quand L=1000, mais attention, maintanant L est bien plus grand !) :
[[13, 6], [1, 28], [3, 220, 284], [5, 496]]
Si l'on avait fait tout le travail seulement jusqu'à n=1000, cela signifie que sur les 1000 suites aliquotes de départ tous les entiers de 1 à 1000, il y aurait eu 13 suites aliquotes qui tombent sur la chaîne aliquote à un maillon 6, 1 qui tombe sur celle à un maillon 28, 3 qui tombent sur celle à deux maillons (220,284) et 5 qui tombent sur celle à un maillon 496.

Télécharger (download) "regina_opens.tar.lzma" (size : 12.1 Mo) le fichier de comptage des suites aliquotes rejoignant chaques suites aliquotes open-end.
Ce fichier commence ainsi (quand L=1000, mais attention, maintanant L est bien plus grand !) :
[[4, 276, 111953269160850453359599437882515033017844320410912, 15157230558475091017656396], [2, 552, 112899802254031478334003024122828366076542374030260, 11508637385321435411002524]...
Si l'on avait fait tout le travail jusqu'à n=1000, cela signifie qu'il y aurait 4 suites aliquotes qui ont rencontré la suite open-end qui commence à 276 et 2 qui ont rencontré la suite open-end qui commence à 552. Les deux grands entiers qui suivent dans le tableau sont simplement les premiers entiers supérieurs à 10^50 et à 10^25 que l'on trouve dans les termes de ces suites open-end : on en a besoin pour identifier les rencontres des autres suites.

Télécharger (download) "regina_prems.tar.lzma" (size : 1.8 Mo) le fichier de comptage des suites aliquotes aboutissant sur chaques nombres premiers.
Ce fichier commence ainsi (quand L=1000, mais attention, maintanant L est bien plus grand !) :
[[78, 3], [48, 7], [28, 11], [21, 13]...
Si l'on avait fait tout le travail jusqu'à n=1000, cela signifie qu'il y aurait 78 suites aliquotes qui aboutissent au nombre premier 3, 48 qui aboutissent au nombre premier 7, 28 qui aboutissent au nombre premier 11 et ainsi de suite... On notera que l'on ne retient pas dans ce fichier, les nombres premiers dont la seule suite aliquote qui les a rejoints est la suite de départ ce nombre premier lui-même. Cela rendrait ce fichier trop volumineux. Par contre si au nombre premier 3 on associe 78, la suite aliquote de départ 3 est bien comptée dans ces 78, car 3 est inférieur à L=1000 (limite de travail du programme). Il se peut qu'à un nombre premier p, on ait un 1 associé : cela signifie qu'une suite aliquote de départ n a atteint ce nombre premier p, n étant inférieur à p. La suite aliquote de départ p ne sera comptabilisée comme une suite tombant sur p que quand le programme aura atteint le nombre premier p. Si l'on a fait tourner le programme jusqu'à un entier L, bien entendu, il faudrait en toute rigueur rajouter tous les nombres premiers manquants inférieurs à L dans ce tableau en leur associant 1. Ainsi, dans cet exemple où L=1000, il manque [1,2], [1,5] et bien d'autres...


Exemples d'utilisation de cette base de données fondamentale sur les suites aliquotes

Voir des exemples d'utilisation de la base de données fondamentale sur les suites aliquotes.




Les derniers C80 de toutes les suites aliquotes Open-End commençant sur des nombres inférieurs à 3 000 000 : base de données FactorDB scannée en mai 2020.
(The latest C80s of all Open-End aliquot sequences starting with numbers less than 3,000,000 : FactorDB data base scanned in May 2020.)
 :



Voir la liste (see the list) "OE_3000000.txt" (size : 2.5 Mo)

Ce tableau commence comme cela, après quelques indications (date de mise à jour, problème de suites aliquotes "Broken" de FactorDB...) :
(This array starts like that, after a few indications (date of update, problem of "Broken" aliquot sequences of FactorDB...) :)
276 86429502525621235123826529054861326152211856309368313663717677245572194588259306
552 93191536898043837453054174955849514463373414360403592180608032037927142180955180
564 63373220338311185878213023083258486641521314878135641223432483032656144576662116
660 55462535746423901103008156653380035541277137961121218541098197822388620707825760
966 54217831165122758567899909677986173899380021129621221691901655666119614743931160
...
...
Cela signifie par exemple que l'entier 276 est le départ de la première suite aliquote Open-End connue et que son dernier terme de 80 chiffres sur FactorDB est l'entier 86429502525621235123826529054861326152211856309368313663717677245572194588259306.
Cette liste contient 27775 lignes.





Dernière modification ou dernière actualisation des résultats calculatoires : 30 décembre 2021