Les suites aliquotes

Aliquot sequences


"Faire avancer la recherche sur les suites aliquotes n'est pas qu'à la portée de mathématiciens professionnels. Tout le monde peut participer, même un lycéen !"

Jean-Luc Garambois





English summary of the website in pdf version

Site actif de recherche sur les suites aliquotes

Voir un résumé des travaux présentés sur ce site





Bienvenue à tous sur ce site consacré aux suites aliquotes.
Il existe déjà plusieurs autres sites, articles, livres qui traitent de ce sujet et complémentaires les uns des autres. Il y a même parfois redondance, mais en général, chaque site apporte quelque chose. Il y en a même certains qui sont incontournables si l'on veut vraiment connaître le sujet !
Le site dont vous êtes en train de lire la page d'accueil présente surtout nos travaux inédits dont nous n’avons pas retrouvé le contenu ailleurs.

Vous êtes sur un site actif de recherche sur les suites aliquotes.

On y présente des conjectures dont certaines pourront devenir des théorèmes démontrés alors que d'autres pourront être abandonnées au fur et à mesure que les recherches avancent.

Ainsi, depuis que ce site a été mis en ligne le 8 septembre 2010, il a permis deux avancées majeures dans la connaissance des suites aliquotes : ce qui était ici présenté comme la deuxième conjecture de Garambois est devenu le théorème de Barbulescu-Garambois et ce qui était présenté comme la troisième conjecture de Garambois est devenu le théorème de Chtaibi-Garambois.

En fait, la raison d’être de ce site sont surtout les deux dernières parties : « Base de données » et « Les problèmes ouverts ». En effet, tout comme nous voulons que nos travaux que nous rendons disponibles servent à d'autres, nous avons besoin d'aide pour faire avancer encore les recherches, car certaines questions nous semblent ardues et d'autres demandent de la patience pour faire des programmes et surtout pour les faire tourner et attendre les résultats !


Dans un premier temps, nous allons cependant faire une entorse à notre règle (ne pas présenter des choses que l'on trouve ailleurs) : nous allons rappeler les définitions relatives aux suites aliquotes. Puis, nous rappellerons quels sont les différents comportements des suites aliquotes, en y ajoutant à chaque fois les choses nouvelles que nous avons remarquées à leur sujet et que nous n’avons trouvées sur nul autre site, ni dans les livres.
Ensuite, nous présenterons le graphe infini des suites aliquotes, notion fondamentale. Nous tenterons ensuite de remonter des suites aliquotes à l'envers. Puis, nous présenterons nos conjectures, l'état d'avancement de nos calculs. Ensuite, nous présenterons des tentatives de généralisation des suites aliquotes où nous avons essayé d’autres processus itératifs, mais aussi de traiter le problème en étendant la fonction σ’ à d’autres objets mathématiques que les entiers comme par exemple les nombres complexes entiers de Gauss ou les polynômes.
Enfin, la dernière partie, « Les problèmes ouverts », expose directement les questions encore non résolues par nous et probablement par personne d'autre qui restent ouvertes. Cette partie peut être lue indépendamment de tout le reste qui peut cependant donner des idées pour la résolution des problèmes ouverts. Grâce à cette partie, tout visiteur peut lui-même devenir acteur et prendre part aux recherches sur les suites aliquotes.
Toute personne arrivant à résoudre un de ces problèmes ouverts aura alors contribué à faire avancer la recherche sur les suites aliquotes et aura gagné le droit d’être cité !
Pour toutes ces parties, des liens permettent de voir les démonstrations ainsi que les méthodes qui ont permis d’arriver aux affirmations et aux conclusions avancées.

Notons pour finir que notre but est juste de découvrir certains des nombreux secrets que cachent les suites aliquotes.
Les suites aliquotes ont-elles un ultime Secret ? Y en a-t-il dont on puisse démontrer qu'elles croissent indéfiniment ou alors est-ce impossible comme le conjectura Catalan en 1888 ?
Si nous ne le savons pas encore, une chose est certaine. Un des buts à poursuivre en ce qui concerne les suites aliquotes pourrait se formuler ainsi :

Arriver à connaitre le devenir d'une suite aliquote sans en calculer les termes.

Mais peut-être cela est-il impossible !




Définition : les fonctions σ et σ', les suites aliquotes, les séquences de suites aliquotes, les antécédents aliquotes, les guides, les drivers et les downdrivers de séquences de suites aliquotes


Les suites aboutissant à 1


Les suites aboutissant sur une chaîne aliquote, les chaînes aliquotes isolées


Les suites aliquotes à statut inconnu (suites aliquotes Open-End), conjecture de Catalan, conjecture de Garambois N°1 argumentée allant à l’encontre de la conjecture de Catalan, théorème de Barbulescu-Garambois (théorème sur la vitesse de croissance de séquences de suites aliquotes), théorème de Chtaibi-Garambois (sur la conservation des guides dans les suites aliquotes en fonction de la taille des termes de la suite aliquote) et conjecture de Garambois N°4 sur la conservation exceptionnelle de certains guides particuliers, théorème de Chtaibi N°2 sur la conservation d'un facteur premier à une puissance donnée dans les termes d'une suite aliquote, conjectures de Garambois N°5 et N°6.


Le graphe infini des suites aliquotes


Remonter une suite aliquote à l'envers


Les suites aliquotes à très forts coefficients de croissance


Le coefficient de croissance moyen des suites aliquotes évolue en fonction de k, le nombre d'itérations
et
Etat d'avancement des calculs en cours pour la détermination de ce coefficient



Une piste pour infirmer la conjecture de Catalan ?
et
Une autre piste pour infirmer Catalan ? (octobre 2015) [ARTICLE CADUQUE, CONJECTURE INFIRMEE]


Suites aliquotes à taille record de termes & croissance naturelle d'une suite aliquote démarrant avec un multiple de nombre parfait ou k-parfait


Les suites aliquotes démarrant sur des puissances entières n^i


Questions sur l'existence de suites aliquotes croissant indéfiniment dont les termes seraient tous composés d'un nombre fini de nombres premiers


Les suites aliquotes exotiques, tentative de généralisation : autres processus itératifs (n → σ'(n)+b avec b entier) et étendre la fonction sigma aux nombres négatifs, aux nombres complexes entiers de Gauss et aux polynômes


Base de données sur les suites aliquotes, téléchargement de données
et
Etat d'avancement des calculs en cours pour la base de données fondamentale sur les suites aliquotes



Problèmes ouverts théoriques et défis pour les programmeurs







Liens vers d'autres sites sur les suites aliquotes



Principaux contributeurs :

GARAMBOIS Jean-Luc
BARRET Cédric
HUBER Olivier
BACHSCHMIDT Matthieu
CHTAIBI Youssef
JAMM Francis


Remerciements :

A Jean-Paul DELAHAYE qui a fait mention de nos travaux dans la revue Pour le Science, dans les numéros de février 2002 et de février 2019. Ces publications nous ont rendus crédibles et nous ont très fortement motivés !
A Paul ZIMMERMANN qui a entrepris de gros calculs pour résoudre les défis que nous proposons aux programmeurs et qui a permis à notre équipe de décupler sa puissance de calcul ! Merci aussi à Paul ZIMMERMANN pour sa démonstration de la non validité de la conjecture de Garambois N°7 forte. Merci encore à Paul Zimmermann pour son aide régulière et ses nombreuses explications.
A Razvan BARBULESCU qui en la démontrant, a transformé une de nos conjectures en théorème, qui a de plus résolu un de nos problèmes théoriques posés et qui a aussi validé la démonstration d'une autre de nos conjectures !
A Youssef CHTAIBI qui lui aussi, a transformé deux de nos conjectures en théorèmes et qui travaille très activement sur différentes questions et qui partage ses idées et découvertes avec nous. Il a en outre formulé et démontré le théorème de Chtaibi N°2.
A Christophe CLAVIER qui a fait de gros calculs pour trouver des suites aliquotes à très forts coefficients de croissance et qui nous a expliqué quelles astuces il avait utilisées pour y parvenir.
A Edwin HALL qui a fait de gros calculs systématiques pour faire avancer et résoudre certains de nos problèmes ouverts.
A Gary BARNES qui a poussé les calculs plus loin pour certaines de nos suites aliquotes.
A Andrew R. BOOKER pour son aide pour la vérification d'une partie de notre base de données qui concerne les nombres d'antécédents aliquotes des nombres pairs compris entre 10^11 et 10^11+2*10^7. Merci aussi à lui pour avoir cité nos travaux dans un article qui devrait être publié dans la revue "Computation of Mathematics" début 2018.
A Karsten BONATH pour ses conseils avisés et ses scripts pour créer notre page html sur les suites aliquotes démarrant sur des puissances entières n^i.
A Alexander JONES pour sa précieuse aide pour créer la page qui récapitule les conjectures publiées sur le forum de Mersenne.
A Francis JAMM pour son aide pour certaines démonstrations, pour ses relectures.
A Patrick BACHSCHMIDT pour sa traduction en anglais de la page qui résume le contenu du site.
A Bill WINSLOW pour sa traduction en anglais de la démonstration du théorème de Chtaibi-Garambois.
A Michel MARCUS pour son aide pour l'intégration de données sur l'OEIS et pour ses idées.
A Labib HADDAD pour sa trouvaille sur le web de la démonstration de Paul Erdös de l'exitence d'une infinité de nombres intouchables.
Egalement à Pierre TOUGNE, Mathieu MOUGEY, Jean-Luc GRAFF, David KOLODZIEJ et Alain STAMM.



Prise de contact :

jlgarambois at gmail.com
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Dernière modification sur le site : 5 mars 2024